Por Dr. Damián Emilio Gibaja Romero
Previamente, en esta columna platicamos sobre dos resultados que, en su momento, cimbraron a la comunidad matemática. El primero de ellos, de la mano de George Cantor, señala que existen infinitos más grandes que otros; entre las consecuencias de este resultado destaca un entendimiento más completo del proceso de contar.
A partir de Cantor, contar significa emparejar elementos; es decir, contar se relaciona estrechamente con generar asignaciones y entender sus características. Con lo anterior podemos concluir que la cantidad de números naturales (el infinito discreto) es menor que la cantidad de números reales (el infinito continuo). Entonces, pareciera que los infinitos son números. Por lo anterior, así como el 4.5 se encuentra entre el 4 y el 5, nos podemos preguntar si existe un conjunto infinito mayor que los naturales, pero menor que los reales. A este problema se le conoce como la Hipótesis del Continuo.
La Hipótesis del Continuo es fácil de entender, pero no tan sencilla de responder. De hecho, su estudio hizo que la comunidad científica se detuviera a reflexionar sobre el significado de las matemáticas y su objeto de estudio. Todo esto ocurrió a finales del siglo XIX y principios del siglo XX, etapa donde el Cálculo y la Geometría fueron fundamentales en el desarrollo tecnológico e industrial. Por consiguiente, la comunidad científica esperaba una solución rápida sobre la Hipótesis del Continuo por la sencillez de este, la cual no llegó a pesar del involucramiento de grandes matemáticos como David Hilbert. Por el contrario, mientras la investigación avanzaba y se reformulaban las bases de la matemática, surgieron paradojas como el hecho de que “el conjunto de todos los conjuntos no es conjunto.” Así como los matemáticos de hace 100 años, imagino que el lector se está preguntando si leyó y entendió bien. Si, la afirmación es correcta.
Con el objetivo de “debemos saber y sabremos,” David Hilbert motivó la estructuración de las matemáticas mediante la búsqueda de elementos básicos que ayudaran a responder todas las preguntas. La crisis de los fundamentos llegó que Kurt Gödel, cuyo teorema de incompletitud es el segundo resultado que cambió la forma en que se hacen las matemáticas. Dicho resultado señala que, sin importar la estructura básica de las matemáticas, siempre habrá preguntas cuya veracidad no pueda responderse. Es decir, Gödel estableció la imposibilidad de alcanzar el objetivo de Hilbert. Sin embargo, también sentó las bases de una nueva forma de hacer matemáticas.
Particularmente, la necesidad de revisar las bases (axiomas) sobre los que se construyen las matemáticas ha permitido conectar áreas de la matemática aparentemente distantes. Por ejemplo, el poder elegir un elemento de cada conjunto no vacío es equivalente a tener la mejor solución dentro de un conjunto de alternativas acotadas. Al mismo tiempo, lo anterior es equivalente a encontrar un conjunto de elementos finito con los cuales es suficiente estudiar una infinidad de objetos en espacios lineales.